数学建模论文要求 运动特征下数学建模论文

发布时间:2019-09-18 19:39:37   来源:新闻报道    点击:   
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运动特征下数学建模论文

运动特征下数学建模论文 1轮系的单元分析方法 1.1复杂轮系结构分解 轮系可分为定轴轮系和行星轮系。定轴轮系中所有齿轮 轴线相对机架位置均固定;行星轮系至少有一个齿轮的轴线 相对于机架的位置不固定。复杂轮系是由定轴轮系和行星轮 系构成的传动系统。轮系构成的复杂性增大了其分析与建立 数学模型的难度,进而增大了后续方案设计的难度。一般地, 复杂系统的构成分解是简化其研究的一种有效方法。系统构 成分解具有很强和很明确的目的性,其分解的层次在一定程 度上决定了后续建模的复杂度及设计可行解的局限度。本文 为便于建立复杂轮系运动方案设计的数学模型,以齿轮机构 作为其研究基本要素进行运动构成分解。图1所示的轮系可 拆分为4个基本齿轮机构:两自由度的外啮合圆柱齿轮机构 和圆锥齿轮机构,单自由度的内啮合圆柱齿轮机构和圆锥齿 轮机构,具体如图2所示。其中,各单元中的构件以数字和H 标识,H为行星轮系的系杆。构成复杂轮系的齿轮机构是传 递运动变换的基本载体,是复杂轮系基本运动构成要素,即 是单元化分析方法的研究对象。

1.2轮系方案设计的单元分析法 轮系方案设计的单元分析法通过离散与分解轮系构成, 利用单元及单元组合进行轮系分析与综合。本文通过分析轮 系运动构成规律,确定轮系基本单元的基本构型,并给出其定义:能够独立完成运动变换且不可继续拆分成两个或多个 独立运动的齿轮机构,称为轮系基本单元,简称基本单元。

任何复杂轮系均可由运动变换基本单元连接组合构成。单元 组合的实质是施加连接约束。根据单元的连接约束,其组合 方式可以是串联、并联或混联。单元自身特性、单元之间连 接约束和组合方式直接决定了整个轮系的特性。因此,轮系 方案设计的单元分析与建模方法是首先在深入分析轮系基 本单元特性及输入输出特征的变换规律基础上,研究单元各 组合方式下构件的连接约束特征及组合特征;然后通过建立 基本单元的特征模型及连接约束组合模型描述轮系的系统 特征。轮系的系统特征数学模型是轮系方案设计的基础。

2轮系基本单元构型设计 基本单元是轮系中最小功能转化实体,其构型决定了轮 系运动变换特征;其数量直接影响轮系可行方案的多寡。因 此,基本单元构型设计是轮系方案设计的关键问题之一。本 文提出了基于基本单元原型、利用其拓扑结构不变性特征进 行基本单元构型的设计方法。

2.1轮系基本单元原型及其拓扑结构 轮系基本单元的基本构型是单自由度和双自由度的齿 轮机构,其他基本单元可通过基本构型的变异演化得到。在 此,轮系基本单元的基本构型称为基本单元原型,图3a和图 3b分别为单自由度和双自由度基本单元原型。两种基本单元 分别具有定轴回转和行星回转运动特征。机构的运动副、构件等运动构成要素以一定的方式连接,构成了机构拓扑结构。

机构拓扑结构主要描述了构成要素及其相互邻接关系,而不 考虑诸元素大小和元素之间的距离。分析基本单元原型机构 的拓扑特征可知,单自由度基本单元原型拓扑结构特征为含 有一个齿轮副、两个转动副和三个构件;双自由度基本单元 原型拓扑结构特征为含有一个齿轮高副、三个转动低副和四 个构件。若约定实心圆和空心圆分别表示齿轮副(GP)和转动 副(RP),实线表示构件,单双自由度基本单元原型机构的 拓扑结构可分别描述为图4a和图4b。基本单元拓扑图直观地 描述了基本单元原型机构的构成要素类型和数量、要素间的 邻接关系。

2.2轮系基本单元的构型图谱 基本单元的拓扑结构决定于构件和运动副的类型、数目 以及构件与运动副之间的连接关系。同构基本单元可具有不 同的运动构型。基于基本单元原型及其拓扑结构的不变性, 以及构件运动特征变换、齿轮结构类型和啮合类型变换规律, 可推衍出不同的单元构型,进而可建立完善的基本单元构型 图谱。构件的运动特征提取包括运动类型、运动方向及运动 属性的提取。轮系中的构件运动类型主要为定轴回转运动、 行星回转运动及零运动(固定构件)。其运动方向仅有正反向 的回转;运动属性为连续的匀速回转。因此,影响基本单元 变异的运动特征主要是构件的运动类型。轮系中构件类型的 变异是运动类型的转换,即机架变换。轮系基本单元中的构件类型有机架、齿轮和行星架。由于一对齿轮是通过齿轮副 实现动连接的,即与齿轮副邻接的构件类型为齿轮;而与齿 轮副非邻接的构件则为机架或行星架。若基本单元的一个构 件指定为机架,根据齿轮副在基本单元拓扑图中的位置,即 可确定基本单元中其他构件的类型及基本单元的类型。如图 4a所示的单自由度基本单元,构件2和构件3为齿轮,若非齿 轮构件为机架时,该基本单元类型为定轴齿轮机构,如图5a 所示;若齿轮2或齿轮3为机架时,该基本单元中构件1为行星 架,且行星架的回转轴线固定,如图5b所示。同理,双自由 度基本单元的机架变换后得到的两种基本单元构型的拓扑 图见图5c和图5d。通过对同构基本单元进行齿轮结构类型和 啮合类型变换,可获得不同的单元构型。齿轮结构类型可分 为圆柱齿轮和圆锥齿轮。啮合类型有内啮合和外啮合。单自 由度基本单元经过齿轮结构及啮合类型变换,可得到7种单 元构型,如图6所示。同理,双自由度基本单元变换后可得 到6种构型,其中3种构型中出现2个行星架邻接现象,从运 动角度分析可知,其中的1个行星架冗余,去除冗余构型, 双自由度基本单元变换后得到3种有效构型,如图7所示。综 上,利用基本单元的拓扑结构、构件的运动和结构类型及齿 轮啮合类型的变换,获得了10种单/双自由度和内/外啮合的 圆柱和圆锥齿轮基本单元构型图谱。

3轮系基本单元的特征状态建模 3.1特征状态向量基本单元的运动类型包括定轴回转和行星回转运动。运 动方向通过建立笛卡儿坐标系进行描述。运动属性描述运动 的连续性、稳定性及其输入输出的变换特征等。轮系的主要 特征属性是运动连续、稳定及输入输出的线性变换。根据状 态空间理论可知,系统状态可以由一组独立变量来描述,并 称以这组变量构成的向量为状态向量。在机械装置中,运动 特征变换实质是特征状态的转变。因此,定义一组变量描述 轮系系统或基本单元的运动特征,称之为运动特征状态向量。

首先建立基本单元的笛卡儿坐标系:以基本单元输入构件运 动平面为坐标系的Oxy平面,以该构件的运动方向为x方向, 以回转中心为坐标原点O。类似地,建立各构件的坐标系, 并保持构件坐标系各坐标轴与基本单元的相应坐标轴同向。

基本单元坐标系为定坐标系,构件坐标系为动坐标系,可利 用构件坐标系相对基本单元坐标系的运动关系,描述具有行 星运动的构件的特征。轮系运动特征状态向量K定义为K=(KA, KB)T,简称特征向量,其中,KA表示构件坐标系在基本单元 坐标系中的运动特征,KB表示构件在自身坐标系中的运动特 征。对于具有定轴回转运动的构件,特征向量中分量KA为零 向量;对于行星运动构件,KA为非零向量。由于轮系各构件 以回转运动为特征,其特征状态变量定义为角速度在不同坐 标系下的三向分量KA=(wAx,wAy,wAz)和KB=(wBx,wBy,wBz), 并规定当构件沿轴线方向逆时针转动时转速为正,变量值描 述其运动属性值。运动特征状态向量很好地表达了系统的运动特征,是建立轮系特征模型的基础。

3.2轮系基本单元的运动特征建模 基本单元的运动特征变换是输出运动特征相对于输入 运动特征的变换,即由给定的输入构件特征向量转换为输出 构件的特征向量。这种变换关系可抽象为数学描述,并可进 一步构建运动变换的特征状态方程。3.2.1轮系基本单元 运动特征方程理论上,基本单元除固定的机架外,其他任何 构件均可作为输入构件或输出构件。其中,第j个输入构件 的运动特征向量Kij=(wijAx,wijAy,wijAz,wijBx,wijBy, wijBz)T;第j个输出构件的运动特征向量Koj=(wojAx,wojAy, wojAz,wojBx,wojBy,wojBz)T。根据轮系基本单元输入输 出运动变换的线性特征,其特征状态方程为线性方程,可采 用矩阵形式进行描述。特征状态变换矩阵A描述了输入特征 状态向量和输出特征状态向量间的变换关系。矩阵中的非零 元素的位置表明输入输出特征向量间方向变换关系;非零元 素值代表了两特征向量间变换的运动特征属性值。同时,特 征状态变换矩阵A反映了基本单元的变换特征,任一基本单 元均可由其进行描述。因此,A可作为计算机信息存储特征。

3.2.2单自由度基本单元运动特征模型单自由度轮系基本 单元是单输入单输出机构,仅有2个运动构件,如图6所示。

由前述可知,平行轴圆柱齿轮基本单元和90°轴交角的圆锥 齿轮基本单元,由于只有一个输入构件和一个输出构件,式 (1)和式(2)的运动特征向量均为一维。由式(3)可知,基本单元的特征状态变换矩阵A为6×6阶矩阵。根据基本单元坐 标系构建规则,输入、输出特征状态向量中的非零元素位置 由输出构件的运动类型和方向决定。定轴回转运动的特征向 量分量KA为零向量;行星运动的特征向量分量KA为非零向量。

特征状态变换矩阵A的非零元素aij的数量、位置由输入输出 特征向量确定,其值由基本单元构型及参数决定。如图6a所 示的基本单元,其运动构件均具有固定回转轴线,输入和输 出特征向量平行且l=k=4,则特征状态变换矩阵非零元素为 a44,其值woBxwiBx为齿轮机构的传动比值im=z2z1。同理, 其他单自由度基本单元特征模型均可由式(4)求得。3.2.3 双自由度基本单元运动特征模型双自由度轮系基本单元具 有2个输入构件和1个输出构件,依据式(1)建立输入特征状 态向量Ki=(KiA1,KiB1,KiA2,KiB2)T和输出特征状态向量 Ko=(KoA,KoB)T,其特征状态方程同样满足式(3),变换矩 阵A为6×12阶矩阵。同理,特征状态变换矩阵中的非零元素、 位置同样由输入与输出特征向量确定,其值由单元传动比决 定。

3.3轮系基本单元存储 特征状态变换矩阵反映了基本单元的特征信息,并表达 了输入输出特征向量间的关系,因此,将其作为信息存储模 型,便于实现计算机辅助设计。对于同一个基本单元,不同 的输入输出具有不同的特征状态变换矩阵。基本单元的特征 信息提取为:自由度、输入输出构件、特征状态变换矩阵的非零元素位置及特征值。基本单元的这些特征的存储是后续 实现计算机方案设计的知识源。

4结论 (1)单元化方法是简化复杂轮系分析和综合的有效方法, 特别利于简化系统综合的数学模型。(2)利用机构拓扑结构 不变性,对轮系基本单元原型机构进行变异演化,可获得完 善的轮系基本单元构型。(3)运动特征状态向量准确描述了 运动属性;特征状态变换矩阵描述了基本单元的特征;运动 特征状态方程有效地表达了输入输出特征变换关系。基本单 元的数学模型为轮系运动分析和方案设计提供了模型支撑。